Cours de prévision solaire : prévoir la ressource solaire intermittente

Cyril Voyant, professeur, Mines Paris – PSL, Centre O.I.E., Sophia Antipolis

UE14, Cursus ingénieur civil des Mines

Projet de recherche appliquée : modéliser et prévoir le rayonnement solaire global

MINES PARIS – PSL

CENTRE O.I.E.

SOPHIA ANTIPOLIS

01

Pourquoi prévoir le solaire ?

Enjeux pour le réseau, unités, données d'Ajaccio

04

Ciel clair et indice de ciel clair

Modèle Solis, CSI, stationnarité

Annexes : stationnarité au sens large, espérance conditionnelle, critères AIC/BIC. Glossaire et références en fin de document.

02 · Le rayonnement solaire

Direct, diffus, atmosphère, position du Soleil

05

Modèle AR et moindres carrés

Construire X et y, moindres carrés, choix de p

03

Séries temporelles et prévision

Composantes, horizon, premier modèle AR(1)

06

Évaluation, ELM et apprentissage en ligne

Persistance, métriques, ELM, fenêtre glissante, frugalité

Contexte

Le rayonnement solaire est intermittent (nuages).

Le réseau électrique doit anticiper la production photovoltaïque.

Besoin : des prévisions fiables à court terme (ici 1 h).

La chaîne complète que nous allons construire

1 · 2 · 3 · Mesures · de GHI · Ciel clair · GHI^cs · Indice CSI · (différence)

Cette chaîne revient à chaque chapitre ; l'étape en cours y est surlignée.

À la fin, vous saurez

calculer un indice de ciel clair (CSI) ;

construire et estimer un modèle AR(p) par moindres carrés ;

construire un ELM et en mesurer la variabilité ;

comparer des modèles à la persistance (MAE, RMSE, score) ;

mettre à jour un modèle en ligne et juger sa frugalité.

4 · 5 · 6 · 7 · Centrage

y = CSI − μ

Découpage · chronologique · Modèle

P · AR · ELM

Prévision · ŷ_t+h · 8 · 9 · GHI prévu

ŷ + μ + GHI^cs

Évaluation · jour · jour+nuit

Convention : gras minuscule = vecteur, gras majuscule = matrice, maigre = nombre. Le temps est toujours en indice : y_t, y_t−1, CSI_t+h.

Réseau électrique intelligent. Figure : © EPRI, 2009.

La production solaire varie avec les nuages. Pour l'intégrer au réseau, il faut l'anticiper.

Stabilité du réseau

Anticiper les baisses de production pour garder la fréquence stable.

Équilibre offre / demande

Ajuster les autres moyens de production (hydraulique, STEP*, gaz…).

* STEP : station de transfert d'énergie par pompage (barrage réversible).

Stockage

Charger ou décharger les batteries au bon moment.

Valeur économique

Vendre la production au meilleur prix et réduire les coûts d'exploitation.

Irradiance (W/m²)

Puissance reçue par m² à un instant donné. Exemple : 1 000 W/m² en plein soleil à midi.

De l'irradiance à la puissance électrique

P ≈ η · S · G

La production est proportionnelle à l'irradiance : prévoir le GHI, c'est prévoir la production.

Irradiation (Wh/m²)

Énergie reçue par m² pendant une durée. Sur une heure : irradiation horaire en Wh/m² = irradiance moyenne en W/m².

η : rendement du module (≈ 20 %), S : surface (m²), G : irradiance sur le module (W/m²).

Exemple : 10 m² sous 800 W/m² → P ≈ 0,20 × 10 × 800 = 1,6 kW.

Nos données

GHI horaire en Wh/m². Les fichiers Météo-France sont en J/cm² : 1 J/cm² = 2,78 Wh/m², donc Wh/m² = J/cm² / 0,36.

GHI horaire mesuré à Ajaccio en 2007 (Météo-France).

10 ans de mesures : 8 ans pour apprendre, 1 an pour régler le modèle, 1 an pour le tester (chapitre 5).

Site : Ajaccio (Corse), 41,9° N, 8,8° E, 4 m.

Grandeur : GHI horaire (Wh/m²).

Période : 1998-2007, soit 87 600 heures.

Maximum : 1 025 Wh/m².

Moyenne de jour : 368 Wh/m².

Sur une surface horizontale

GHI = DNI · cos θ_z + DHI

θ_z : angle zénithal (angle entre le Soleil et la verticale). GHI = Global Horizontal Irradiance.

Direct (DNI)

Reçu directement du Soleil, mesuré sur une surface perpendiculaire aux rayons (direct normal). Dominant par ciel clair.

Diffus (DHI)

Diffusé par l'air, les aérosols et les nuages. Dominant par ciel couvert.

Réfléchi (albédo)

Renvoyé par le sol. Ne compte que pour une surface inclinée, pas pour le GHI.

En traversant l'atmosphère, le rayonnement est atténué par quatre mécanismes.

Absorption · Diffusion de Rayleigh

Vapeur d'eau, ozone, CO₂ : une partie de l'énergie est absorbée.

Par les molécules d'air : c'est elle qui rend le ciel bleu.

Diffusion de Mie · Nuages

Par les aérosols (poussières, sel marin, pollution) : dépend de la turbidité.

Réflexion, diffusion et absorption : principale cause d'intermittence.

Ajaccio, 2007 : une journée claire et une journée couverte.

Par ciel couvert, le GHI tombe ici à environ 20 % de sa valeur ciel clair.

Course du Soleil selon la saison.

Angle zénithal θ_z : entre le Soleil et la verticale. Plus il est grand, plus l'atmosphère traversée est épaisse.

Déclinaison δ : angle entre la direction du Soleil et le plan de l'équateur ; de −23,45° à +23,45° au fil de l'année.

Angle horaire ω : 15° par heure, nul au midi solaire. Latitude φ : 41,9° à Ajaccio.

cos θ_z = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos ω

G₀ = I₀ · (d₀/d)² · cos θ_z

G₀ : rayonnement hors atmosphère ; I₀ ≈ 1 361 W/m² (constante solaire ; 1 367 dans les codes plus anciens).

La distance Terre-Soleil d varie de ±1,7 %, donc (d₀/d)² varie de ±3,3 %.

GHI horaire sur une année : heures du jour × jours de l'année.

Saisonnalité journalière

Nul la nuit, maximal vers midi solaire : un cycle de 24 h bien décrit par le modèle ciel clair.

Saisonnalité annuelle

L'amplitude du cycle journalier varie avec la saison (déclinaison, durée du jour) : un cycle de 365 jours.

Le GHI brut n'est pas stationnaire : sa moyenne dépend de l'heure et du mois. Il faut retirer ces deux cycles avant de modéliser.

Une suite de mesures y₁, y₂, …, y_N d'une même grandeur, prises à pas de temps constant Δt. Ici Δt = 1 h.

Trois propriétés

Régularité : les mesures sont espacées du même pas.

Dépendance : le passé renseigne sur le futur.

Aléa : chaque valeur contient une part imprévisible.

Ce que l'on souhaite pour modéliser

Stationnarité : moyenne et variance stables dans le temps.

Série complète : pas de valeurs manquantes.

Ajaccio : une semaine de GHI horaire.

Le GHI brut n'est pas stationnaire (cycles jour/nuit et saisons) : c'est tout l'objet du chapitre 4.

Tendance T_t

Évolution lente sur le long terme : croissante, décroissante ou nulle.

Cycle C_t

Oscillations longues, non strictement périodiques (phénomènes climatiques).

Pour le GHI : la saisonnalité domine, avec deux cycles (journalier et annuel).

Saisonnalité S_t

Cycles réguliers et reproductibles (jour, année). Très marquée pour le GHI.

Résidu R_t

Partie aléatoire non expliquée. Idéalement un bruit blanc (valeurs indépendantes, de moyenne nulle).

Modèle additif

y_t = T_t + S_t + C_t + R_t

Quand l'amplitude des fluctuations reste constante.

Modèle multiplicatif

y_t = T_t × S_t × C_t × R_t

Quand l'amplitude grandit avec le niveau (cas du GHI : faible l'hiver, forte l'été).

Pourquoi décomposer ?

Retirer la tendance et la saisonnalité (partie prévisible sans effort) ;

garder un résidu plus facile à modéliser ;

vérifier que ce résidu ressemble à un bruit blanc.

Lien avec la suite : soustraire le GHI ciel clair, CSI_t = GHI_t − GHI^cs_t, c'est appliquer le modèle additif : on retire d'un coup les deux cycles. Le rapport (modèle multiplicatif) existe aussi : chapitre 4.

Méthodes usuelles selon l'horizon (ordres de grandeur).

Pas de temps Δt = 1 h ; horizon h en nombre de pas : h = 1 → 1 h, h = 3 → 3 h.

Prévision directe : un modèle entraîné pour chaque horizon h.

Prévision récursive : on prévoit t + 1, puis on réinjecte cette prévision pour t + 2, etc.

Dans ce cours : horizon 1 h, prévision directe.

y_t+1 = f(y_t, y_t−1, …, y_t−p+1) + ε_t+1

La partie prévisible

f résume ce que le passé nous apprend sur le futur. La prévision est ŷ_t+1 = f(y_t, …, y_t−p+1).

Le formalisme convient au GHI : mesures régulières et forte dépendance d'une heure à l'autre (inertie des nuages). Pour aller plus loin : annexe B.

L'erreur

ε_t+1 = y_t+1 − ŷ_t+1 est la part imprévisible. Si le modèle est bon, ε ressemble à un bruit blanc.

L'objectif

Choisir f pour que les erreurs soient les plus petites possible en moyenne quadratique.

y_t+1 = w · y_t + ε_t+1

y_t = CSI_t − μ : écart du CSI à sa moyenne ; w : poids du dernier écart.

|w| < 1 : la série revient toujours vers sa moyenne.

ŷ_t+h = w^h · y_t

Ajaccio : μ ≈ −33 Wh/m² et w ≈ 0,84. Nuage : CSI_t = −300 Wh/m², donc y_t = −267.

ŷ_t+1 = 0,84 × (−267) = −224 : CSI prévu = −257 Wh/m² ; puis −221 et −191 à 2 h et 3 h.

Le CSI prévu retourne vers sa moyenne quand h augmente.

Qu'est-ce que c'est ?

Le GHI que l'on mesurerait en l'absence de nuages, compte tenu de la position du Soleil et de l'atmosphère claire.

Entrées

position du site (latitude, longitude, altitude) ;

position du Soleil (θ_z) ;

vapeur d'eau et aérosols (AOD : épaisseur optique des aérosols).

Rôle : GHI^cs_t sert de référence pour retirer les cycles jour/nuit et saisons.

Loi de Beer-Lambert : l'intensité décroît exponentiellement avec l'épaisseur traversée.

Solis (Ineichen, 2008) est une version simplifiée d'un modèle de transfert radiatif. L'idée de départ est la loi de Beer-Lambert :

GHI^cs ≈ I₀ · exp(−τ / cos θ_z) · cos θ_z

τ : épaisseur optique (air, vapeur d'eau, aérosols) ;

Solis ajuste τ et l'exposant selon la vapeur d'eau, les aérosols et l'altitude.

Réglages : zone rurale, colonne d'eau 3,79 cm, AOD 0,16, I₀ = 1 367 W/m².

La mesure horaire est la moyenne de l'heure écoulée : on calcule le Soleil au milieu de l'heure, ω = (i − 12,5) × 15°.

Écart moyen par ciel clair à Ajaccio : ≈ 32 Wh/m².

Ajaccio, 2007 : Solis et mesure par ciel clair.

CSI_t = GHI_t − GHI^cs_t

≈ 0 par ciel clair, et 0 la nuit ;

négatif sous les nuages (jusqu'à −GHI^cs) ;

moyenne μ ≈ −33 Wh/m² : on centre, y_t = CSI_t − μ.

La démarche

• calculer GHI^cs puis le CSI ;
• centrer : y_t = CSI_t − μ ;
• prévoir ŷ_t+h ;
• reconstruire GHI^prévu_t+h = ŷ_t+h + μ + GHI^cs_t+h (0 la nuit, jamais négatif).

Ajaccio, 2007 : en haut le GHI, en bas le CSI. Le cycle du jour a disparu du CSI.

Le modèle Solis permet de retirer les cycles de deux manières :

Différence (modèle additif), ce cours

CSI_t = GHI_t − GHI^cs_t, en Wh/m² ;

pas de division : valable de jour comme de nuit (la nuit, 0 − 0 = 0) ;

on garde toutes les heures, sans filtrage.

Pour des données horaires avec nuits, le rapport est pas ou peu adapté : nous utilisons la différence. Le rapport est aussi très sensible aux petits décalages d'horodatage et aux seuils de filtrage choisis (Voyant et al., 2025a ; 2026).

Rapport (modèle multiplicatif)

k_t = GHI_t / GHI^cs_t, sans unité (≈ 1 par ciel clair) ; très utilisé dans la littérature ;

la nuit : 0 / 0, indéfini ; au lever et au coucher, GHI^cs ≈ 0 : valeurs qui explosent ;

oblige à filtrer sur la hauteur solaire (garder par exemple h > 10°).

Moyenne ± écart-type par mois, heures de jour, Ajaccio 1998-2007.

Le CSI est approximativement stationnaire : beaucoup plus que le GHI, sans être parfait. Définition formelle : annexe A.

GHI : la moyenne va de 163 à 521 Wh/m² selon le mois.

CSI : la moyenne reste entre −105 et −43 Wh/m², proche de 0.

L'écart-type du CSI varie encore (97 à 185 Wh/m²) : plus de nuages au printemps.

Combien le GHI s'écarte-t-il, en moyenne, du ciel clair ? On mesure l'écart ε_t = GHI_t − GHI^cs_t (c'est le CSI) :

sCV = (√2 / (1 − d)) · √[ Σ_t (GHI_t − GHI^cs_t)² / Σ_t (GHI^cs_t)² ]

Numérateur : la taille typique des écarts au ciel clair (les nuages).

Dénominateur : la taille typique du GHI ciel clair.

√2 / (1 − d) ramène le pire cas à 1 : ciel clair, puis très couvert, une heure sur deux (d = 0,2 : même sous un ciel couvert, il reste au moins 20 % du ciel clair).

sCV = 0 : toujours ciel clair ; sCV = 1 : variabilité maximale. Il ne dépend pas de l'horizon : c'est une propriété du site.

Ajaccio 1998-2007 : sCV et F à 1 h, mois par mois (Voyant et al., 2026).

Ajaccio : sCV = 0,52 sur 1998-2007.

Hiver : 0,8 (ciel changeant) ; juillet : 0,3 (ciel souvent clair).

Une série variable n'est pas forcément imprévisible : si les écarts au ciel clair durent, on peut les anticiper.

ρ(k) : corrélation entre l'écart au ciel clair maintenant, ε_t, et k heures plus tard, ε_t+k (la mémoire des nuages).

ρ_max(h) : la plus forte de ces corrélations pour k entre h et 12 h : ce qu'il reste de mémoire quand on prévoit à l'horizon h.

F(h) = 1 − sCV · (1 − ρ_max(h))

mémoire parfaite (ρ_max = 1) : F = 1, tout est prévisible ;

aucune mémoire (ρ_max = 0) : F = 1 − sCV.

Ajaccio 1998-2007 : F et mémoire restante selon l'horizon (Voyant et al., 2026).

F = 0,92 à 1 h, 0,74 à 3 h, 0,53 à 6 h.

L'atmosphère est chaotique : la mémoire des nuages s'efface en quelques heures. sCV, lui, ne bouge pas.

1 · 2 · 3 · Mesures · de GHI · Ciel clair · GHI^cs · Indice CSI · (différence) · 1 · Mesures

2 · Ciel clair

GHI horaire, converti de J/cm² en Wh/m² (÷ 0,36).

GHI^cs par Solis, Soleil au milieu de chaque heure, sur une année type.

Avec la différence, les nuits ne posent aucun problème (0 − 0 = 0) : pas de filtrage sur la hauteur solaire, contrairement au rapport.

4 · 5 · 6 · 7 · Centrage

y = CSI − μ

Découpage · chronologique · Modèle

P · AR · ELM

Prévision · ŷ_t+h · 3 · CSI

CSI_t = GHI_t − GHI^cs_t, toutes les heures.

8 · 9 · GHI prévu

ŷ + μ + GHI^cs

Évaluation · jour · jour+nuit · 4 · Centrage

y_t = CSI_t − μ avec μ ≈ −33 Wh/m² : série prête pour l'AR et l'ELM.

Un modèle AR(p) prévoit la prochaine valeur à partir des p dernières :

y_t+1 = w₁ y_t + w₂ y_t−1 + … + w_p y_t−p+1 + ε_t+1

Écriture matricielle

y = X w + ε

C'est une régression linéaire multiple. Comme y est centré, pas besoin de constante.

y (N × 1) : les valeurs à prévoir ;

X (N × p) : une ligne par exemple, avec les p retards ;

w (p × 1) : les coefficients à estimer ;

ε (N × 1) : les erreurs.

Cinq valeurs de CSI centré (Wh/m²) : y₁ = −10 ; y₂ = −25 ; y₃ = −240 ; y₄ = −180 ; y₅ = −30. On prend p = 2.

Les deux colonnes du milieu forment X (3 × 2), la dernière forme y (3 × 1).

Chaque ligne décale la précédente d'un pas.

En pratique : on garde toutes les heures, nuits comprises (la nuit, y = −μ ≈ 33). À Ajaccio : 8 ans, soit environ 70 000 lignes pour l'apprentissage.

On cherche w qui rend la somme des erreurs au carré minimale :

J(w) = ‖y − Xw‖² = Σ_i (y_i − x_i^T w)²

Au minimum, la dérivée est nulle :

−2 X^T(y − Xw) = 0 ⟹ X^TX w = X^Ty

Conditions : beaucoup plus d'exemples que de coefficients (N ≫ p) ;

colonnes de X non proportionnelles entre elles.

ŵ = (X^TX)⁻¹ X^Ty

Solution exacte, en une seule fois : pas d'itération, un seul minimum.

Ajaccio, AR(2) : ŵ = (0,97 ; −0,15), calculé en 6 ms.

Le dernier écart y_t pèse de loin le plus.

Xŵ est le point du « plan des colonnes de X » le plus proche de y : c'est sa projection orthogonale.

L'erreur ε = y − Xŵ est perpendiculaire à ce plan.

Pythagore : ‖y‖² = ‖ŷ‖² + ‖ε‖². C'est la base du coefficient R².

Les MCO ne « devinent » rien : ils projettent les mesures sur ce que les entrées permettent d'expliquer.

Apprentissage · 1998 – 2005 · Apprentissage

On estime les coefficients (w, β).

Découpage chronologique, jamais mélangé : on ne prévoit pas le passé avec le futur. Après validation, on ré-estime sur apprentissage + validation.

Validation

On choisit les hyperparamètres (p, L) sans toucher au test.

Validation · 2006 · Test · 2007 · temps · Test

On mesure la performance une seule fois, sur des données jamais vues.

ACF du CSI centré, Ajaccio 1998-2005, toutes les heures.

ACF(k) : corrélation entre y_t et y_t−k, la valeur k heures avant.

Ici ACF(1) = 0,84, ACF(2) = 0,67, ACF(3) = 0,50 : elle décroît lentement.

Mais cette corrélation se transmet de proche en proche : si y_t dépend de y_t−1, qui dépend de y_t−2, alors y_t et y_t−2 sont corrélés même sans lien direct.

L'ACF ne dit donc pas combien de retards sont vraiment utiles. Il faut la PACF.

PACF du CSI centré, Ajaccio 1998-2005, toutes les heures.

PACF(k) : une fois connus y_t−1, …, y_t−k+1, que rajoute y_t−k ? C'est le dernier coefficient w_k d'un AR(k).

Une barre hors de la zone bleue : ce retard apporte une information directe.

Pour un vrai AR(p), la PACF s'annule après le retard p.

Ici PACF(1) = 0,84, PACF(2) = −0,15, puis des valeurs sous 0,08 : la PACF suggère p ≈ 2.

Mais avec N ≈ 70 000 points, le seuil ±0,007 est minuscule : presque tout est « significatif ». Significatif ≠ utile.

Filtre (filter)

on regarde les données seules, avant tout modèle : PACF, critères AIC / BIC (annexe C) ;

rapide, mais indirect.

Enveloppe (wrapper)

on entraîne un AR(p) pour p = 1 à 12 sur 1998-2005 ;

on mesure l'erreur de prévision sur la validation (2006) ;

guidé par l'objectif réel, mais plus coûteux.

Approche enveloppe : RMSE de validation (2006, heures de jour) selon p.

p = 1 : 78,0 ; p = 2 : 77,7 ; p = 12 : 77,3 Wh/m². Parcimonie : le plus petit p à moins de 0,5 % du meilleur, soit p = 2.

1 · 2 · 3 · Mesures · de GHI · Ciel clair · GHI^cs · Indice CSI · (différence)

• Calculer GHI^cs (Solis), puis CSI_t = GHI_t − GHI^cs_t ; le centrer : y_t = CSI_t − μ.
• Découper : apprentissage / validation / test.
• Choisir p sur la validation.
• Construire X et y ; estimer ŵ = (X^TX)⁻¹X^Ty.
• Prévoir ŷ_t+1 = ŵ^T x_t avec x_t = (y_t, …, y_t−p+1).
• Reconstruire GHI^prévu_t+1 = ŷ_t+1 + μ + GHI^cs_t+1 ; mettre 0 la nuit (Soleil sous l'horizon) et 0 si la prévision est négative.
• Évaluer sur 2007 : de jour, puis jour + nuit.

4 · 5 · 6 · 7 · Centrage

y = CSI − μ

Découpage · chronologique · Modèle

P · AR · ELM

Prévision · ŷ_t+h · 8 · 9 · GHI prévu

ŷ + μ + GHI^cs

Évaluation · jour · jour+nuit

Simple, rapide, interprétable : c'est la référence linéaire à battre.

Tout modèle doit être comparé à une référence simple. S'il ne fait pas mieux, il n'apporte rien.

Persistance simple

« Il fera comme maintenant. »

GHI^prévu_t+1 = GHI_t

Ignore la course du Soleil.

Ciel clair

« Il fera beau. »

GHI^prévu_t+1 = GHI^cs_t+1

Ignore les nuages.

Persistance intelligente

« Le ciel restera le même. »

GHI^prévu_t+1 = GHI_t − GHI^cs_t + GHI^cs_t+1

Garde le même écart au ciel clair.

Persistance intelligente = AR(1) avec w = 1 : la référence du score SS.

Deux règles, pour tous les modèles : 1) la nuit (Soleil sous l'horizon, θ_z > 90°), prévision = 0 ; 2) une prévision négative est remplacée par 0.

e_t = GHI^prévu_t − GHI_t (erreur de prévision)

nMBE = [(1/N) Σ e_t] / moyenne(GHI_t)

MAE = (1/N) Σ |e_t|

RMSE = √[(1/N) Σ e_t²] ; nRMSE = RMSE / moyenne(GHI_t)

Condition essentielle : si |nMBE| > 1 %, il y a sans doute un problème, ou un très mauvais modèle. On peut retrancher le biais, à condition de le tester ; nous ne le faisons pas ici.

Erreurs calculées sur le GHI reconstruit, sur l'année de test (2007) : d'abord aux heures de jour, puis jour + nuit. Toujours dire lesquelles !

nMBE (biais) : > 0 si le modèle sur-estime en moyenne, < 0 s'il sous-estime. Les erreurs de signes opposés se compensent : ce n'est pas un score pour départager les modèles.

MAE : erreur moyenne, en Wh/m², facile à interpréter.

RMSE : punit davantage les grosses erreurs (nuage soudain). Toujours ≥ MAE.

nRMSE : RMSE en % du GHI moyen, pour comparer des sites.

SS = 1 − RMSE_modèle / RMSE_{persistance intelligente}

Score de compétence : > 0 si l'on bat la persistance intelligente, < 0 sinon.

Ne regarde que le RMSE.

Deux références différentes : SS se compare à la persistance intelligente, NICE^Σ à la persistance simple (Voyant et al., 2025b).

NICE^k = L^k(modèle) / L^k(persistance simple)

L^k = ((1/N) Σ |e_t|^k)^1/k ; NICE^Σ = (NICE¹ + NICE² + NICE³) / 3

e_t = GHI^prévu_t − GHI_t : l'erreur de prévision (diapo précédente).

k = 1 : erreurs moyennes (MAE) ; k = 2 : RMSE ; k = 3 : grosses erreurs ;

NICE^Σ < 1 : le modèle bat la persistance simple sur les trois normes à la fois.

Test 2007. Jour : 4380 heures, GHI moyen 372 Wh/m². Jour + nuit : 8759 heures, GHI moyen 186 Wh/m². RMSE en Wh/m² ; SS et NICE calculés de jour.

La persistance intelligente divise le RMSE de la persistance simple par 1,7. L'AR gagne 3 % sur elle, l'ELM 7 %.

79 → 56

RMSE de l'AR (Wh/m²)

La nuit (Soleil sous l'horizon), tous les modèles prévoient 0 par construction et ne se trompent pas : ajouter ces heures fait baisser le RMSE (≈ ÷ √2).

Mais la moyenne du GHI est divisée par 2 : le nRMSE augmente.

Le classement des modèles, lui, ne change pas.

Un chiffre d'erreur sans la liste des heures utilisées ne veut rien dire : toujours préciser jour ou jour + nuit.

372 → 186

21 → 30 %

GHI moyen (Wh/m²) · nRMSE de l'AR

Règle 1 (nuit) : quand le Soleil est sous l'horizon (θ_z > 90°), la prévision vaut 0. Règle 2 : une prévision négative est remplacée par 0.

nMBE : biais moyen, en % du GHI moyen (voir « Mesurer l'erreur »). Test 2007.

Un nMBE dépend de la façon de le calculer : toujours préciser jour ou jour + nuit, avec ou sans règles.

Comment lire ce tableau

Sans règles, jour + nuit : les deux persistances ont un nMBE exactement nul.

Règle 2 : mettre à 0 les prévisions négatives remonte la moyenne (persistance intelligente : +0,35 % → +1,25 % de jour).

Règle 1 : le nMBE de la persistance simple passe de 0 à −1,02 % sur jour + nuit (diapo suivante).

Ciel clair : +16 % : il prévoit toujours du soleil.

avant-dernière · heure de jour · dernière · heure de jour · 150 · 43 · Mesure · … · 150 · Persistance sans règles · … · 150

Avec la règle 1 (nuit)

Valeurs en Wh/m² ; 43 Wh/m² = moyenne 2007 de la dernière heure de jour.

Une seule heure par jour, mais elle pèse lourd : la moyenne jour + nuit ne vaut que 186 Wh/m², car elle compte les heures de nuit à zéro.

première · heure de nuit

Sans règles : la persistance recopie la mesure de l'heure d'avant. Sur l'année, chaque mesure sert une fois de mesure et une fois de prévision : les deux sommes sont égales, nMBE = 0.

Avec la règle 1 (nuit) : à la première heure de nuit, le Soleil est sous l'horizon, donc la prévision 43 est remplacée par 0. Chaque jour, une prévision d'environ 43 Wh/m² disparaît.

Sur l'année : 365 × 43 ≈ 15 642 Wh/m², plus 1 008 Wh/m² de petites valeurs mesurées de nuit : 16 650 Wh/m² manquent.

Rapporté au GHI mesuré sur l'année (1 630 161 Wh/m²) : 1,02 %, d'où un nMBE jour + nuit de −1,02 %.

0 · 43 · 0

La règle est physiquement juste (pas de Soleil la nuit), mais elle change le biais.

Ajaccio, octobre 2007 : prévision à 1 h.

Les deux modèles suivent bien les journées régulières et ratent les changements brusques : un nuage qui arrive ne se voit pas dans le passé.

L'AR(p) suppose une relation linéaire entre le CSI et ses retards. C'est souvent suffisant à court terme, mais pas toujours.

Situations difficiles

passages rapides ciel clair / ciel couvert (fronts nuageux) ;

effets de bord de nuage (GHI > GHI^cs) ;

ciel très variable (cumulus) ;

liens non linéaires entre retards.

Sous-ajustement

Un modèle linéaire ne capte pas une relation courbe, même avec beaucoup de retards.

Saturation

Au-delà d'un certain p, ajouter des retards n'améliore plus rien (diapo « Choisir p »).

Idée : transformer les entrées de façon non linéaire, puis garder les moindres carrés. C'est l'ELM.

ELM à une couche cachée (Huang et al., 2006).

Un réseau de neurones à une seule couche cachée.

Les poids d'entrée W_in et les biais b sont tirés au hasard puis figés.

Chaque neurone applique une fonction non linéaire g (tanh, sigmoïde…).

Seuls les poids de sortie β sont appris, par moindres carrés.

Pas de rétropropagation du gradient : l'apprentissage se fait en une seule résolution.

Les p retards de chaque ligne passent par la couche cachée :

H = g(X W_in + b) (N × L)

Même équation, seules les colonnes changent. Le petit terme αI (régression ridge) stabilise le calcul quand L est grand ; à Ajaccio, α = 10⁻³.

RMSE de validation (2006, heures de jour) selon L, pour p = 2.

L = 5 : 85,2 Wh/m² → sous-ajustement.

L = 50 : 75,9 Wh/m².

Au-delà, plus aucun gain : 75,8 à L = 200, 75,9 à L = 500 (risque de surapprentissage).

Comme pour p : tester quelques valeurs (5 à 500) sur la validation et garder la plus petite presque optimale. Ici L = 50.

Les poids d'entrée sont aléatoires : deux entraînements donnent deux modèles différents.

Recherche de candidat : on fait 20 tirages et on garde celui qui a la plus petite erreur sur la validation (2006).

Le test (2007) ne sert qu'à la fin, pour le tirage retenu.

Tirage retenu : nRMSE test 20,46 %.

Les 20 tirages : de 20,37 à 20,51 % (moyenne 20,45 %).

Le meilleur en validation n'est pas forcément le meilleur en test : ici l'écart est faible, mais il faut le vérifier.

Chaque point : un tirage. Validation 2006 (horizontal), test 2007 (vertical).

Idée : ajouter aux retards des variables de calendrier connues à l'avance : l'heure h et le jour de l'année j.

Problème : codée par un nombre, 23 h est « loin » de 0 h, alors que ce sont deux heures voisines.

Solution : placer l'heure sur un cercle, avec deux variables :

(sin(2π h / 24) ; cos(2π h / 24)) et (sin(2π j / 365) ; cos(2π j / 365))

4 colonnes de plus dans X. Le modèle « sait » alors quelle heure et quelle saison il est (Voyant et al., 2025a).

nRMSE de jour, test 2007, même protocole pour les 8 variantes. Approche « sans ciel clair » : Voyant et al., 2025a.

AR (linéaire) : a besoin du CSI. Sur le GHI brut, même avec sin/cos, il fait moins bien que la persistance intelligente.

ELM (non linéaire) : avec sin/cos, il apprend lui-même le cycle du Soleil, à partir du GHI brut.

nRMSE et NICE^Σ donnent le même classement.

Atouts de l'ELM

apprentissage rapide, une seule résolution ;

capte des relations non linéaires ;

même méthode (MCO) que l'AR.

Environ 100 fois plus de coefficients (appris + aléatoires) pour 4 points de score en plus. Le gain justifie-t-il la complexité ?

Limites de l'ELM

choix de L à faire ;

résultat qui varie selon le tirage ;

moins interprétable que l'AR ;

surapprend si L devient grand ;

demande beaucoup de données.

À Ajaccio, à 1 h

AR(2) : 2 coefficients ; nRMSE 21,3 %.

ELM : 51 appris + 150 aléatoires ; nRMSE 20,5 %.

Score SS : +0,03 (AR) contre +0,07 (ELM).

Prévoir · Observer · heure t

heure t + 1

bleu : les W heures d'apprentissage ; rose : l'heure à prévoir

La matrice X garde toujours W lignes : les W dernières heures.

Chaque heure, on ajoute la ligne la plus récente et on retire la plus ancienne, puis on ré-estime par ridge :

ŵ = (X^TX + αI)⁻¹X^Ty

Actualiser

Astuce : pas besoin de tout recalculer. X^TX ← X^TX + x_nouveaux_nouveau^T − x_ancienx_ancien^T.

Même chose pour l'ELM, avec H à la place de X.

Mise à jour : 11 µs pour l'AR, 38 µs pour l'ELM, par heure.

Utile quand le système change (capteur qui dérive, panneau encrassé, nouveau site) : le modèle oublie le passé lointain.

Test 2007 : chaque heure, ridge ré-estimé sur les W dernières heures, de 1 mois à 2 ans.

Fenêtre courte : suit les changements récents… mais apprend sur peu de données.

nRMSE de jour sur 2007 selon la longueur de la fenêtre.

L'AR (2 coefficients) marche même sur 1 mois. L'ELM (51 coefficients) se dégrade nettement sur fenêtre courte : plus un modèle a de paramètres, plus il lui faut de données.

Un modèle frugal obtient une bonne précision avec peu de calcul, peu de données et peu de maintenance.

Temps mesurés sur un ordinateur portable : seuls les ordres de grandeur comptent.

La bonne question n'est pas « quel est le meilleur modèle ? » mais « le gain justifie-t-il le coût ? » (calcul, données, maintenance, surveillance).

Réseau et unités

Prévoir le GHI, c'est prévoir la production.

Séries temporelles

Composantes, horizon, AR(1).

AR et MCO

ŵ = (X^TX)⁻¹X^Ty, choix de p.

Cyril Voyant (cyril.voyant@minesparis.psl.eu) Mines Paris – PSL, Centre O.I.E.

Rayonnement

Direct, diffus ; position du Soleil ; nuages.

Ciel clair et CSI

Solis ; CSI = GHI − GHI^cs, centré.

Évaluation, ELM, en ligne

Jour / jour + nuit, fenêtre glissante, frugalité.

Huang G.-B., Zhu Q.-Y., Siew C.-K. (2006). Extreme learning machine: theory and applications. Neurocomputing, 70, 489–501. doi:10.1016/j.neucom.2005.12.126

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Voyant C., Despotovic M., Notton G., Saint-Drenan Y.-M., Asloune M., Garcia-Gutierrez L. (2025a). On the importance of clearsky model in short-term solar radiation forecasting. Solar Energy, 289, 113490. doi:10.1016/j.solener.2025.113490

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Box G. E. P., Jenkins G. M., Reinsel G. C., Ljung G. M. (2015). Time Series Analysis: Forecasting and Control, 5e éd. Wiley.

Données : Météo-France, station d'Ajaccio. Figure du réseau intelligent : © EPRI, 2009.

Un processus (z_t) est stationnaire au sens large si :

E[z_t] = μ (constante) et Cov(z_t, z_t+k) = γ(k) (ne dépend que du décalage k)

En pratique

la moyenne est constante dans le temps ;

la variance est finie et constante ;

la dépendance entre deux instants ne dépend que de leur écart.

Vérification simple : tracer la moyenne et l'écart-type mois par mois (diapo « Le CSI est-il stationnaire ? »). Les tests statistiques existent mais ne sont pas nécessaires ici.

ŷ_t+h = E[y_t+h | y_t, y_t−1, …, y_t−p+1]

Parmi toutes les prévisions construites à partir du passé, celle qui minimise l'erreur quadratique moyenne est l'espérance conditionnelle : la moyenne des futurs possibles, sachant le passé.

On écrit alors y_t+h = ŷ_t+h + ε_t+h : partie prévisible + erreur, avec une erreur de moyenne nulle.

Un modèle AR(p) est une approximation linéaire de cette espérance ; l'ELM, une approximation non linéaire.

Si les erreurs du modèle forment un bruit blanc (ACF des erreurs non significative), il ne reste plus d'information exploitable dans le passé.

AIC ≈ N · ln(σ̂²) + 2(p+1)

BIC ≈ N · ln(σ̂²) + (p+1) · ln N

σ̂² : variance des erreurs sur l'apprentissage ;

on garde le p qui donne le plus petit critère.

Le premier terme baisse quand le modèle s'ajuste mieux ; le second pénalise chaque coefficient ajouté.

BIC pénalise plus fort qu'AIC : il choisit des modèles plus petits.

Avantage : pas besoin de période de validation. Inconvénient : suppose des erreurs gaussiennes.