Test de normalité en ligne : Jarque-Bera, Shapiro-Wilk, Kolmogorov

Loi normale ou pas ? Avec 100 valeurs tirées d’une loi normale, les trois tests concluent « compatible » (Jarque-Bera p = 0,30, Shapiro-Wilk p = 0,24) ; un seul point ajouté à 4,2 écarts-types de la moyenne suffit à faire rejeter la normalité. Vous apprenez à lire un histogramme et une droite de Henry, puis à comparer trois tests de normalité, condition des tests de Student et du test Z.

Expérience du cours, dont les valeurs sont calculées dans le modèle indiqué et ne sont pas des résultats de recherche : le chapitre et ses diapositives (partie « Moments d’ordre 3 et 4 » et « Test de normalité ») · toutes les expériences · version anglaise.

Essayer et interpréter

L’hypothèse testée est écrite en haut du labo : H₀ : les données suivent une loi normale. Choisissez une forme (normale, asymétrique, queues épaisses, plate, deux bosses), réglez l’écart à la loi normale et le nombre de points n. Le bandeau de couleur donne le verdict en clair : vert si aucun test ne rejette H₀, rouge si les trois la rejettent, orange s’ils ne sont pas d’accord. L’histogramme prend la même couleur et porte la courbe normale de même moyenne et même écart-type ; la droite de Henry montre où les points s’écartent. Cliquez sur l’histogramme pour ajouter des valeurs, ou placez le point extrême et faites-le glisser : la courbe du bas indique à partir d’où chaque test rejette la normalité.

Pourquoi tester la normalité ?

Le test Z, le test de Student et les intervalles de confiance supposent des données (ou des moyennes) de loi normale. Le cours le rappelle : il faut vérifier cette hypothèse, au moins a posteriori. Le test de Jarque-Bera, celui du cours, compare deux formes de la distribution à celles de la loi normale : sa symétrie (S = 0) et son aplatissement (C = 0). Le labo le compare à deux tests très utilisés : Shapiro-Wilk et Kolmogorov-Smirnov.

Les définitions

n, xᵢ: Le nombre de valeurs et chaque valeur de l’échantillon.
x̄, s: La moyenne et l’écart-type de l’échantillon (s calculé avec n − 1, comme dans le cours).
S (skewness, asymétrie): La moyenne des écarts réduits (xᵢ − x̄)/s élevés au cube. 0 pour une distribution symétrique ; S > 0 : queue à droite ; S < 0 : queue à gauche.
C (kurtosis en excès, aplatissement): La moyenne des écarts réduits à la puissance 4, moins 3. 0 pour la loi normale (« mésocurtique ») ; C > 0 : queues plus épaisses ; C < 0 : distribution plus plate.
JB: La statistique de Jarque-Bera, (n/6)(S² + C²/4) : elle grandit avec l’asymétrie, l’aplatissement et la taille de l’échantillon.
χ² à 2 ddl: La loi limite de JB sous normalité. Son seuil à 5 % vaut environ 5,99 ; la lecture est indicative sur les petits échantillons.
H₀, p-value: H₀ : les données viennent d’une loi normale. p est la probabilité, sous H₀, d’une statistique au moins aussi grande que celle observée. Avec l’approximation du χ², p < 5 % correspond à JB supérieur au seuil asymptotique.
W (Shapiro-Wilk): Mesure à quel point les valeurs triées s’alignent sur la droite de Henry, entre 0 et 1. W proche de 1 : données compatibles avec la normale ; W petit : on rejette H₀.
D (Kolmogorov-Smirnov, version de Lilliefors): Le plus grand écart vertical entre la fonction de répartition des données et celle de la loi normale de même x̄ et s. D grand : on rejette H₀.
Droite de Henry (diagramme quantile-quantile): Chaque valeur triée est placée face au quantile de la loi normale de même rang. Si les données sont normales, les points suivent la droite x̄ + s·z.

Voir les formules

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}, s = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$

$S = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{x_{i} - \bar{x}}{s})}^{3}, C = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{x_{i} - \bar{x}}{s})}^{4} - 3$

$J B = \frac{n}{6} (S^{2} + \frac{C^{2}}{4}), p = e^{- J B / 2}$

Où : n est le nombre de valeurs xᵢ, x̄ leur moyenne, s leur écart-type, S l’asymétrie, C l’excès d’aplatissement, JB la statistique de Jarque-Bera et p la p-value.

Sous H₀, JB suit approximativement la loi du χ² à 2 degrés de liberté, dont la fonction de survie est simple : p = e^−JB/2. Avec ce seuil asymptotique, une valeur de JB inférieure au seuil conduit à ne pas rejeter la normalité.

Les logiciels (scipy, R) calculent S et C avec des moments divisés par n (écart-type sans le n − 1) : les valeurs diffèrent un peu pour les petits échantillons, et se rejoignent quand n grandit. Le labo affiche les deux.

Voir les formules de Shapiro-Wilk et de Kolmogorov-Smirnov

$W = \frac{{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{(i)})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$

Où : x₍ᵢ₎ est la i-ème plus petite valeur, x̄ la moyenne, et les aᵢ des poids fixés par n, tirés des quantiles attendus de la loi normale (aᵢ < 0 pour les petites valeurs, aᵢ > 0 pour les grandes, Σaᵢ² = 1). W est le carré de la corrélation entre les valeurs triées et ces poids : 1 si les points sont parfaitement alignés sur la droite de Henry. La p-value suit l’approximation de Royston (1995), celle de scipy et de R.

$D = {max}_{x} | F_{n} (x) - Φ (\frac{x - \bar{x}}{s}) |$

Où : F_n(x) est la proportion des n valeurs inférieures ou égales à x (fonction de répartition empirique), Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, x̄ et s la moyenne et l’écart-type de l’échantillon. Comme x̄ et s sont estimés sur les mêmes données, la table classique de Kolmogorov-Smirnov serait trop indulgente : on utilise celle de Lilliefors (approximation de Dallal et Wilkinson, 1986, précise pour p < 0,10 ; au-delà, le labo affiche « p > 0,10 »).

Hypothèses et limites

La loi du χ² n’est qu’une approximation, valable pour des échantillons assez grands. Avec peu de données, le test manque de puissance : ne pas rejeter la normalité ne prouve pas qu’elle est vraie. Avec beaucoup de données, au contraire, de petits écarts sans conséquence deviennent significatifs. Regardez toujours l’histogramme et la droite de Henry en plus du test.

Quel test choisir ?

Shapiro-Wilk : le plus puissant pour les petits et moyens échantillons (de 3 à 5 000 valeurs) ; c’est le choix par défaut des logiciels.
Jarque-Bera : simple à calculer à la main (S et C), il cible l’asymétrie et les queues ; sa p-value est asymptotique, donc fiable surtout pour les grands échantillons.
Kolmogorov-Smirnov (Lilliefors) : il compare les fonctions de répartition ; il réagit surtout au centre de la distribution et peu aux queues : c’est le moins puissant des trois.

Les échantillons du labo sont tirés au hasard (générateur reproductible) dans des lois choisies pour l’exemple ; « Nouveau tirage » change l’échantillon.

Exercices

Les deux premiers sont des calculs à la main du cours (diapositive « Moments d’ordre 3 et 4 »), aucun sujet d’examen.

Calcul à la main (exercice du cours). x = 2, 6, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 14, 18 ; on donne x̄ = 10,0 et s = 3,873. Calculer S et C.
Voir la correction
Les écarts à la moyenne sont symétriques : S = 0. Σ((x − x̄)/s)⁴/13 = 2,999 donc C = −0,001 ≈ 0 : jeu mésocurtique et symétrique. JB ≈ 0, p ≈ 1 : rien ne permet de rejeter la normalité (n = 13 reste petit).
Second calcul du cours. x = 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 18 ; x̄ = 10,5 et s = 2,989. Calculer S, C puis JB.
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S = +0,72 (queue à droite, due surtout au 18) et C = −0,0005 ≈ 0. JB = 16/6 × (0,72² + 0) = 1,40 < 5,99, p = 0,50 : on ne rejette pas la normalité.
Un point suffit-il ? Partez de l’échantillon « Normale » de 100 valeurs et ajoutez le point extrême. À partir de combien d’écarts-types de la moyenne la normalité est-elle rejetée ?
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Lisez la courbe du bas : Jarque-Bera et Shapiro-Wilk deviennent significatifs dès 4,2 écarts-types, au-dessus comme en dessous de la moyenne (à 4,0 : JB = 3,6, p = 0,17 ; Shapiro-Wilk p = 0,060). Kolmogorov-Smirnov ne réagit presque pas : un point isolé change à peine l’écart maximal D entre les deux fonctions de répartition.
L’effet de n. Choisissez « Asymétrique », réglez l’écart à la loi normale sur 0,3 et faites passer n de 30 à 300. Que deviennent JB et le verdict ?
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Avec 30 points, JB = 1,4 (p = 0,50) : les trois tests ne rejettent pas H₀, l’asymétrie passe inaperçue. Avec 300 points tirés de la même loi, JB = 40 (p < 0,0001) et les trois tests rejettent H₀. JB est proportionnel à n : avec beaucoup de données, un petit écart à la normalité devient détectable ; avec peu de données, ne pas rejeter ne prouve pas la normalité.
Les tests sont-ils d’accord ? Chargez l’exemple « Plate (uniforme) » (100 points), puis « Queues épaisses ». Quels tests rejettent la normalité ?
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Distribution plate : Shapiro-Wilk rejette H₀ (p = 0,012), mais pas Jarque-Bera (p = 0,092) ni Kolmogorov-Smirnov (p = 0,060) : bandeau orange, cas limite. Queues épaisses : seul Jarque-Bera rejette (p = 0,044 ; Shapiro-Wilk p = 0,15). Chaque test regarde un aspect différent de la forme : on regarde toujours l’histogramme et la droite de Henry avant de conclure.

Aller plus loin

Le chapitre complet du cours : la loi normale, les moments et les tests de moyennes
La loi normale : aire, probabilité et score z
Le test Z et le test de Student, qui supposent la normalité
Le test du χ² : la même loi, pour des effectifs

Citer cette page

Cyril Voyant (2026). Test de normalité en ligne : Jarque-Bera, Shapiro-Wilk, Kolmogorov. https://www.cyrilvoyant.com/fr/outils/test-jarque-bera/. CC BY 4.0.

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