Régression : intervalle de confiance et de prévision
Avec 20 points et un écart-type résiduel de 1 (la dispersion des points autour de la droite), la moyenne prévue au centre est connue à ±0,47 (intervalle de confiance), mais une nouvelle observation seulement à ±2,15 (intervalle de prévision). Vous savez quel intervalle répond à quelle question.
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Essayer et interpréter
Au centre du nuage, comparez les demi-largeurs (distance du centre au bord de la bande), 0,47 et 2,15. Augmentez n (le nombre de points) : la bande de la moyenne se resserre nettement, celle d’une observation beaucoup moins. Déplacez x₀ (la valeur de x où l’on prévoit) hors des valeurs observées : les deux s’élargissent et l’avertissement d’extrapolation apparaît.
Pourquoi l’intervalle d’une nouvelle observation est-il plus large que celui de la moyenne ?
L’intervalle de confiance porte sur la moyenne des y en x₀ : il ne contient que l’incertitude de la droite et se resserre quand n augmente. L’intervalle de prévision ajoute la dispersion propre d’une observation, qui ne disparaît pas, même avec beaucoup de données.
Intervalle de confiance de la moyenne. Pour l'intervalle de prévision d'une nouvelle observation, ajouter 1 sous la racine.
Les définitions
- Intervalle de confiance
- Il encadre la moyenne des y en x₀.
- Intervalle de prévision
- Il encadre une nouvelle observation en x₀ : on ajoute 1 sous la racine.
- x₀, ŷ₀
- La valeur où l’on prévoit et la moyenne prévue par la droite.
- x̄, n, Sxx
- La moyenne des x observés, leur nombre et la somme des carrés des écarts x − x̄.
- sₑ (se)
- L’écart-type résiduel estimé : la dispersion des points autour de la droite.
- t
- Le quantile de Student pour une bande à 95 %, à n − 2 degrés de liberté. Voir le test de Student.
Hypothèses et limites
Régression simple, erreurs indépendantes normales de variance constante, nuage construit. Bandes valables à 95 % en chaque x, pas sur toute la courbe à la fois. En extrapolation, le modèle peut être faux sans que la bande le signale.
Aller plus loin
- Le chapitre complet du cours : le raisonnement, d’autres exemples, le diaporama et la FAQ
- Le point influent : ce qu’un seul point fait à la droite
- Corrélation et R² : la part de variation décrite par la droite
- La loi normale : d’où vient le « environ 2 écarts-types »
- Évaluer une prévision : la persistance comme référence
Les valeurs affichées sont calculées ou construites dans le modèle indiqué : ce ne sont pas de nouveaux résultats de recherche.
Cette expérience est présentée comme animation du cours : page de référence. Version anglaise : the English tool page.