Test du χ² : observés, attendus et contributions

Sur 120 lancers d’un dé, une seule face sortie 68 fois au lieu de 20 apporte 115,2 des 138,5 points du χ² (khi-deux : la mesure globale de l’écart entre effectifs observés et attendus). Vous apprenez à chercher où se trouve l’écart, au lieu de vous arrêter à la p-value (la probabilité d’un écart au moins aussi grand si le dé était équilibré).

Une expérience du cours de Cyril Voyant, à manipuler dans le navigateur. Le chapitre et ses diapositives · Toutes les expériences · Lexique : test du χ².

Essayer et interpréter

Pour 120 lancers d’un dé équilibré, on attend 20 résultats par face. Modifiez une face, puis regardez sa contribution (la part de cette face dans le χ²). Le tableau 2×2 reprend le cas 75/25 et 65/35 du cours : p ≈ 0,1228 sans correction de continuité (un ajustement pour les petits effectifs), donc pas de rejet au seuil de 5 % (on ne rejette l’hypothèse de départ que si p < 0,05).

Quelles cellules expliquent l’écart entre les observations et l’hypothèse ?

Chaque cellule apporte une contribution (O−E)²/E, et le χ² est leur somme. Lire ces contributions montre où se trouve l’écart, ce que la p-value ne dit pas. À écart égal, une cellule peu attendue pèse davantage.

χ2=∑(O−E)2E

Dé équilibré : E = N/6, 5 degrés de liberté. Indépendance dans un tableau 2×2 : E = (total de ligne × total de colonne)/N, 1 degré de liberté.

Les définitions

O, E
L’effectif observé et l’effectif attendu sous l’hypothèse testée.
N
L’effectif total.
Σ
La somme sur toutes les cellules.
χ²
La statistique de test : la somme des contributions (O−E)²/E.
Degrés de liberté
Le paramètre de la loi de référence : 5 pour le dé, 1 pour le tableau 2×2.
p-value
La probabilité de dépasser le χ² obtenu si l’hypothèse est vraie, selon la loi approchée. Une petite p-value dit que l’écart est peu compatible avec l’hypothèse, pas qu’il est grand : voir le chapitre Tester une différence et lire son incertitude.

Hypothèses et limites

Observations indépendantes, catégories exclusives, vrais comptages. La p-value est approchée : avec de faibles effectifs attendus, la conclusion automatique est suspendue. Ne pas rejeter ne démontre ni l’équilibre ni l’indépendance.

Aller plus loin

Les valeurs affichées sont calculées ou construites dans le modèle indiqué : ce ne sont pas de nouveaux résultats de recherche.

Cette expérience est présentée comme animation du cours : page de référence. Version anglaise : the English tool page.