Loi normale : aire, probabilité et score z

Dans toute loi normale (la courbe en cloche), environ 95 % des valeurs se trouvent à moins de 1,96 écart-type (la dispersion typique) de la moyenne. Vous passez d’une valeur à une probabilité, et d’une probabilité à un seuil, sans table, grâce au score z : le nombre d’écarts-types qui sépare une valeur de la moyenne.

Une expérience du cours de Cyril Voyant, à manipuler dans le navigateur. Le chapitre et ses diapositives · Toutes les expériences · Lexique : loi normale.

Essayer et interpréter

À z = 1,96, l’aire à gauche (la probabilité d’obtenir une valeur plus petite) vaut environ 0,975. Lisez la zone centrale de −1,96 à +1,96 : environ 95 %. Essayez aussi le calcul inverse, de la probabilité vers le seuil.

Comment passer d’une valeur à une probabilité, ou retrouver un seuil à partir d’une aire ?

On convertit x en score z, le nombre d’écarts-types qui le séparent de la moyenne. L’aire sous la courbe à gauche de z est la probabilité cherchée. Le calcul inverse part d’une aire et retrouve le seuil.

z=x−μσ

Φ(z)=P(Z≤z)

Avec Z ∼ N(0, 1), la loi normale de moyenne 0 et d'écart-type 1. σ désigne l'écart-type.

Les définitions

x, μ, σ
Une valeur, la moyenne et l’écart-type.
z
Le score z : le nombre d’écarts-types entre x et la moyenne.
Z, N(0, 1)
Une variable normale centrée réduite : de moyenne 0 et d’écart-type 1.
Φ(z), P
Φ(z) est la probabilité P que Z reste en dessous de z : l’aire à gauche de z.

Hypothèses et limites

Le calcul suppose la loi normale choisie ; il ne démontre pas que des mesures sont normales. Un intervalle de population n’est pas un intervalle de confiance d’une moyenne.

Aller plus loin

Les valeurs affichées sont calculées ou construites dans le modèle indiqué : ce ne sont pas de nouveaux résultats de recherche.

Cette expérience est présentée comme animation du cours : page de référence. Version anglaise : the English tool page.